階乗(カイジョウ)とは | 意味や読み方など丁寧でわかりやすい用語解説

階乗とは、ある正の整数 n に対して、1からnまでのすべての整数を掛け合わせた結果を指す数学的な概念である。記号は「n!」と表記され、「nの階乗」と読む。例えば、5の階乗は5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120となる。この概念は、コンピュータサイエンスやシステム開発の分野において、特に順列や組み合わせの数を計算する際、あるいはアルゴリズムの計算量を評価する際に基礎的な知識として頻繁に用いられるため、システムエンジニアを目指す者にとって理解は不可欠である。また、特殊な定義として、0の階乗は0! = 1と定められている。これは、組み合わせ論的な解釈や、再帰的な定義の整合性を保つために導入されたものであり、情報処理の分野でもこの定義が適用される。

詳細について説明する。階乗の数学的な定義は、正の整数nに対してn! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1で表される。この計算は、nが1増えるごとに結果が急激に大きくなるという特徴がある。例えば、1! = 1、2! = 2、3! = 6、4! = 24、5! = 120と続くが、10! = 3,628,800、20! = 2,432,902,008,176,640,000となり、あっという間に天文学的な数値へと増加する。この性質は、プログラミングにおいて階乗を計算する際に、通常の整数型（int型など）では表現しきれない「オーバーフロー」という問題を引き起こす可能性があることを示唆している。大きな階乗を扱う必要がある場合は、より大きな数値を扱えるデータ型（例えばJavaのBigIntegerやPythonの任意精度整数）を使用するか、計算結果そのものを直接保持するのではなく、対数など別の形式で扱うといった工夫が求められる。

情報科学における階乗の最も直接的な応用は、順列と組み合わせの計算である。n個の異なる要素を全て並べ替える方法の総数はn!通りで与えられる。例えば、3人の人が3つの異なる椅子に座る場合の座り方は3! = 6通りとなる。これは、パスワードの可能性の数を推測したり、データセット内の要素の並び方を評価したりする際に利用できる。アルゴリズム設計においては、要素の順列を生成する問題（例えば、可能な全ての巡回経路を探索する問題など）で階乗の概念が直接的に関係してくる。

また、階乗はアルゴリズムの時間計算量を評価する際の重要な指標の一つとなる。時間計算量とは、アルゴリズムが問題のサイズnに対してどれくらいの計算ステップを必要とするかを示すもので、O記法（オーダー記法）で表されることが多い。O(n!)で示されるアルゴリズムは、問題のサイズnが少しでも大きくなると、計算に必要な時間が爆発的に増加することを意味する。例えば、巡回セールスマン問題のように、n個の都市をすべて訪れる最短経路を見つけるといった総当たり（ブルートフォース）的なアプローチは、n!オーダーの計算量を持ち、nがわずか20程度でも現実的な時間での計算は不可能となる。このような性質から、O(n!)のアルゴリズムは、非常に小さなnにしか適用できない非効率なアルゴリズムと見なされ、より効率的な多項式時間（O(n^k)など）のアルゴリズムや、近似アルゴリズムが検討される。

プログラミングでは、階乗の計算は再帰関数を使って簡潔に実装できることで知られている。n! = n × (n-1)!という再帰的な定義をそのままコードに落とし込むことができる。もちろん、ループ（繰り返し）処理を用いても計算は可能である。システムエンジニアとして、階乗という概念を理解することは、単に数値を計算するだけでなく、組み合わせの可能性がどれほど急速に増大するか、そしてそれがシステムのパフォーマンスや設計にどのような影響を与えるかを予測し、適切な技術選定やアルゴリズムの選択を行う上で極めて重要となる。この数学的特性を認識することで、計算量の多い問題を回避するためのより賢明な解決策を導き出す能力が養われる。