【ITニュース解説】Use Bayes rule to mechanically solve probability riddles

この記事は、確率の問題を機械的に解くためにベイズの定理を活用する方法について解説している。特に、初心者システムエンジニアが確率や統計の知識を必要とする場面で役立つように、ベイズの定理の基礎から具体的な応用例までをわかりやすく説明している。

ベイズの定理は、ある事象が起きたという条件の下で、別の事象が起こる確率を求めるための公式だ。これは条件付き確率と呼ばれ、P(A|B)という記号で表される。これは「事象Bが起きたときに事象Aが起こる確率」と読む。ベイズの定理は以下の式で表される。

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

ここで、

• P(A|B): 事後確率。事象Bが起きた後に、事象Aが起こる確率。
• P(B|A): 尤度。事象Aが起きたときに、事象Bが起こる確率。
• P(A): 事前確率。事象Aが起こる確率。
• P(B): 周辺確率。事象Bが起こる確率。

この定理の重要な点は、新しい情報（事象B）に基づいて、事象Aに対する信念（確率）を更新できるということだ。事前確率P(A)は、新しい情報がない段階での事象Aの確率を表し、尤度P(B|A)は、事象Aが起きた場合に事象Bがどれくらい起こりやすいかを示す。そして、事後確率P(A|B)は、事象Bが起きた後に、事象Aがどれくらい起こりやすいかを示す。

ベイズの定理を理解するために、簡単な例を考えてみよう。例えば、ある病気の検査薬があり、その検査薬の精度が99%だとしよう。つまり、病気にかかっている人が検査を受けると99%の確率で陽性反応が出る。また、病気にかかっていない人が検査を受けると99%の確率で陰性反応が出る。ここで、ある人が検査を受けたところ陽性反応が出たとしよう。このとき、その人が実際に病気にかかっている確率はどれくらいだろうか？

直感的には、検査薬の精度が高いので、陽性反応が出た人はほぼ確実に病気にかかっているように思えるかもしれない。しかし、ベイズの定理を使うと、そうとは限らないことがわかる。

まず、事前確率P(A)を考える。これは、検査を受ける人が病気にかかっている確率を表す。もし、この病気が非常に稀な病気で、人口の0.1%しかかかっていないとすると、P(A) = 0.001となる。

次に、尤度P(B|A)を考える。これは、病気にかかっている人が検査を受けると陽性反応が出る確率を表す。検査薬の精度が99%なので、P(B|A) = 0.99となる。

最後に、周辺確率P(B)を考える。これは、検査を受けた人が陽性反応が出る確率を表す。これは、病気にかかっている人が陽性反応が出る確率と、病気にかかっていない人が陽性反応が出る確率の合計で求めることができる。

P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A)

ここで、¬Aは「事象Aが起こらない」ことを表す。病気にかかっていない人が陽性反応が出る確率P(B|¬A)は、検査薬の偽陽性率を表し、1 - 0.99 = 0.01となる。また、病気にかかっていない確率P(¬A)は、1 - P(A) = 0.999となる。したがって、

P(B) = 0.99 * 0.001 + 0.01 * 0.999 = 0.01098

となる。

これで、ベイズの定理に必要なすべての要素が揃った。事後確率P(A|B)を計算すると、

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B) = 0.99 * 0.001 / 0.01098 ≈ 0.0901

となる。つまり、検査で陽性反応が出たとしても、実際に病気にかかっている確率はわずか9%程度に過ぎないのだ。これは、病気が非常に稀であるため、検査で陽性反応が出ても、それが偽陽性である可能性が高いからだ。

この記事では、このようなベイズの定理の応用例をさらに詳しく解説し、確率の問題を機械的に解くための具体的な方法を紹介している。システムエンジニアは、データ分析や機械学習などの分野で確率や統計の知識を必要とする場面が多いため、ベイズの定理を理解しておくことは非常に重要だ。ベイズの定理を使いこなせるようになれば、より正確な予測や意思決定を行うことができるようになるだろう。