【ITニュース解説】【微分】機械学習で使う数学をいまさら勉強する【図解あり】

この記事は、機械学習を学ぶ上で必要となる数学、特に「微分」の基礎を、数学に苦手意識を持つ人でも理解できるように解説している。Webエンジニアとして経験を持つ筆者が、自身の学習過程を記録しながら、微分という概念が機械学習においてどのように役立つのかを説明している。

まず、機械学習モデルは、入力データに対して何らかの出力データを返す関数のようなものだと定義されている。このモデルの動作は、学習によって決定される。学習とは、大量のデータを用いてモデルの内部パラメータを調整し、より正確な出力を得られるようにすることだ。

ここで、微分が重要な役割を果たす。機械学習の学習プロセスは、モデルの出力と正解データとの誤差を最小化するように進められる。この誤差を最小化する過程で、微分が用いられるのだ。具体的には、「勾配降下法」と呼ばれる最適化アルゴリズムがよく使われる。

勾配降下法は、誤差関数（モデルの出力と正解データとのずれを表す関数）の勾配（傾き）を計算し、その勾配の方向にパラメータを少しずつ調整していくことで、誤差を小さくしていく方法だ。勾配は、誤差関数を各パラメータで微分することで求められる。つまり、微分は、どの方向にパラメータを調整すれば誤差が小さくなるのかを知るための重要なツールとなる。

例えば、あるパラメータを少し増やしたときに誤差が大きく増加する場合、そのパラメータを減らす方向に調整する必要がある。逆に、パラメータを増やしたときに誤差が小さくなるのであれば、その方向に調整を進める。この「誤差がどのように変化するか」を正確に把握するために、微分が不可欠となる。

記事では、具体的な関数の微分計算を通じて、微分の基本的な考え方を解説している。例えば、$y = x^2$ という関数を微分すると、$\frac{dy}{dx} = 2x$ となる。これは、$x$ が変化したとき、$y$ がどれだけ変化するかを表している。$x = 3$ のとき、$2x = 6$ なので、$x$ がわずかに変化すると、$y$ はその約6倍変化することになる。

機械学習では、このような微分の考え方を、より複雑な関数、例えばニューラルネットワークの誤差関数に対して適用する。ニューラルネットワークは、多数のパラメータを持つ複雑な関数であり、そのパラメータを効率的に調整するためには、微分の知識が不可欠となる。

記事では、偏微分についても触れられている。偏微分は、複数の変数を持つ関数に対して、特定の変数に着目して微分を行うことだ。機械学習モデルは、通常、多数のパラメータを持つため、各パラメータが誤差に与える影響を個別に評価するために、偏微分が用いられる。

例えば、$z = x^2 + y^2$ という関数がある場合、$x$ に関する偏微分は $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$、$y$ に関する偏微分は $\frac{\partial z}{\partial y} = 2y$ となる。これは、$y$ を固定した状態で $x$ が変化したときの $z$ の変化、および、$x$ を固定した状態で $y$ が変化したときの $z$ の変化を表している。

機械学習においては、誤差関数を各パラメータで偏微分し、それぞれのパラメータをどのように調整すれば誤差が小さくなるかを判断する。そして、勾配降下法を用いて、全てのパラメータを同時に調整していくことで、モデル全体の性能を向上させる。

このように、微分は機械学習の根幹をなす数学的な概念であり、モデルの学習プロセスを理解し、より高性能なモデルを構築するためには、その基礎をしっかりと理解しておく必要がある。特に、勾配降下法などの最適化アルゴリズムを使いこなすためには、微分の知識は不可欠と言える。記事は、数学に苦手意識を持つ人でも、機械学習に必要な微分の基礎を理解できるように、丁寧に解説している。