【ITニュース解説】Linear Regression in a Nutshell

線形回帰は、私たちが日常的に扱うデータの中に隠された関係性を見つけ出し、未来を予測するための機械学習アルゴリズムの中でも、特に基礎的で重要な手法の一つだ。これは、例えば家の広さから価格を予測したり、ある商品の広告費から売上を予測したりといった場面で活用される。このモデルの目標は、与えられたデータ群の傾向を最もよく表す一本の「直線の方程式」、具体的には「y = ax + b」の形の方程式を見つけ出すことにある。ここで、xは予測の原因となるデータ、yは予測の結果となるデータ、aは傾き、bは切片を表す。

しかし、「最もよくフィットする」とは具体的にどういう意味だろうか。これは、私たちが実際に持っているデータ点と、線形回帰モデルがそのデータ点に対して予測した値との間に生じる「誤差」を、可能な限り小さくするということを意味する。この誤差は、実際のデータ点（yᵢ）から、モデルが予測した値（f(xᵢ)）を引いたもの（Eᵢ = yᵢ - f(xᵢ)）として定義される。この誤差をどのように最小化するかが、線形回帰モデルの性能を左右する鍵となる。

誤差を最小化する方法はいくつか考えられるが、単純に全ての誤差を合計するだけでは問題が生じる。なぜなら、予測値が実際よりも小さい場合の正の誤差と、大きい場合の負の誤差が互いに打ち消し合ってしまい、結果的に合計誤差が小さく見えても、実際にはデータの傾向から大きく外れた直線を選んでしまう可能性があるからだ。また、このような方法では、最適な直線が複数存在しうるという問題もある。

この問題を解決するために次に考えられるのは、各誤差の絶対値を合計する方法だ。絶対値を用いることで、正負の誤差が打ち消し合うことは避けられる。しかし、この方法でも、データによっては複数の直線が同様に低い合計絶対誤差を示すことがあり、やはり唯一の「最もフィットする直線」を特定するのが難しい場合がある。

これらの問題を解決し、線形回帰で最も一般的に用いられるのが「誤差の二乗」を合計する方法だ。これは「最小二乗法」として知られている。誤差を二乗することで、負の誤差も正の値に変換され、誤差が打ち消し合う問題は解消される。さらに、誤差が大きいデータ点ほど二乗したときの値がより大きくなるため、モデルは大きな誤差を特に強く補正しようと働き、結果としてデータ全体に最もよくフィットする唯一の直線を見つけ出すことができるようになる。

では、この最適な直線（つまり、傾きaと切片bの値）は具体的にどのようにして見つけられるのだろうか。主な方法が二つある。一つは「閉形式解法」と呼ばれるもので、データセットの規模があまり大きくない場合に適用される。これは、数学的な公式を利用して、傾きと切片の値を直接一回の計算で求める方法だ。まるで与えられた公式に数値を当てはめるかのように、瞬時に解が得られる。

もう一つは「勾配降下法」という方法で、データセットが非常に巨大な場合に特に有効だ。大規模なデータに対して閉形式解法で直接計算するのは、計算コストや時間が膨大になり、現実的でない場合がある。勾配降下法では、コンピューターが誤差の二乗の合計が最小になる点を探すために、誤差曲面という概念を用いる。具体的には、現在の地点での誤差曲面の傾き（勾配）を計算し、その傾きが急な方向へ少しずつパラメータを調整していく。この過程を繰り返すことで、徐々に誤差が最小になる点へと近づき、最適な傾きと切片の値を効率的に見つけ出すことができる。

これまでは、一つの原因変数から一つの結果変数を予測するケースを想定してきたが、実際の現象はもっと多くの要因が絡み合っていることが多い。例えば、住宅価格を予測する際には、広さだけでなく、寝室の数、場所、築年数など、様々な要素が影響するだろう。線形回帰は、このような複数の変数を持つ問題にも対応できる。これを「多変量線形回帰」と呼ぶ。複数の変数がある場合、方程式は「y = a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ + b」のように拡張される。ここで、x₁、x₂などはそれぞれの原因変数（面積、寝室数など）を表し、a₁、a₂などはそれぞれの変数が結果にどれくらい影響するかを示す係数となる。それぞれの係数は、他の変数を一定に保ったときに、その変数が一つ変化することで結果にどれだけ影響するかを示すため、予測結果の解釈がしやすいという特徴がある。ただし、原因変数同士が強く関連し合っている「多重共線性」と呼ばれる問題が発生すると、個々の変数の影響度を正確に解釈するのが難しくなる場合もある。

なぜシステムエンジニアを目指す私たちが線形回帰について学ぶべきなのだろうか。その理由は主に三つある。一つ目は「解釈性」の高さだ。線形回帰は、各要因が結果にどれくらい影響するかを具体的な数値（係数）として示すため、予測の根拠を人間が理解しやすく、顧客やビジネス担当者にも明確に説明できる。二つ目は「高速性」である。線形回帰は計算処理が比較的シンプルであるため、非常に大規模なデータセットに対しても迅速にモデルを構築し、予測を実行できる。三つ目は「ベースラインとしての役割」だ。機械学習プロジェクトの多くは、まず線形回帰のようなシンプルなモデルでデータの大まかな傾向を把握することから始める。この結果を基準（ベースライン）として、より複雑な機械学習モデル（例えば、深層学習など）を導入すべきか、あるいはどれほどの性能改善が見込めるかなどを判断する。つまり、線形回帰は、より高度なアルゴリズムを学ぶ上での出発点であり、多くの機械学習パイプラインの基礎となる。

Pythonのコード例では、scikit-learnという標準的な機械学習ライブラリを使用して、ピザのサイズと幸福度の関係を線形回帰で分析している。まず、ピザのサイズとそれに対応する幸福度のデータを用意し、次にLinearRegressionというクラスで線形回帰モデルを作成する。そして、fitメソッドを使ってこのモデルにデータを「学習」させることで、データに最もよくフィットする直線の傾きと切片が自動的に計算される。学習済みのモデルを使えば、例えば16インチのピザがどれくらいの幸福度をもたらすかといった未知の入力に対する予測をpredictメソッドで簡単に行うことができる。このデモンストレーションは、線形回帰が「データからパターンを学び、未知の入力に対して予測を行う」という機械学習の基本的な仕組みをいかにシンプルに実現できるかを示している。

まとめると、線形回帰は、データ間の線形な関係性を見つけ出し、予測を行うための強力で基本的な機械学習アルゴリズムである。そのシンプルさ、高速性、そして結果の解釈しやすさから、ITシステムやデータ分析の現場で今日でも広く利用されている。最新の複雑な機械学習技術が登場する中でも、線形回帰がその基礎として持ち続ける価値は非常に高く、システムエンジニアを目指す上で、その原理と応用を理解しておくことは、非常に重要な一歩となる。