【ITニュース解説】The maths you need to start understanding LLMs

大規模言語モデル（LLM）は、ChatGPTに代表されるように、まるで人間のように自然な文章を生成したり、複雑な質問に答えたりできる人工知能だ。その能力に驚きを感じるかもしれないが、この高度な技術の根底には、堅実な数学的な原理が深く関わっている。LLMの真の力を理解し、将来的にはそれを活用したり、さらに発展させたりするためには、その「黒箱」の中を覗き、数学的な基礎を知ることが不可欠となる。

まず、線形代数はLLMの理解において非常に重要な分野である。線形代数は、ベクトルや行列といった概念を扱う数学だ。LLMの世界では、単語やフレーズ、さらには文全体が「ベクトル」として数値化され表現される。これを「単語埋め込み（Word Embedding）」と呼び、言葉の意味的な特徴や関係性が多次元空間におけるベクトルの位置や方向で表現される。例えば、「王様」という単語のベクトルと「女王様」という単語のベクトルは、似たような方向を向くが、「男性」と「女性」の違いを表すベクトル分だけずれているといった関係性を持つ。LLMが言葉を理解し、次の言葉を予測する過程では、これらのベクトルが「行列」を用いた複雑な計算によって変換されていく。モデル内部の各層は、入力されたベクトルの情報を別のベクトルへと変換し、より抽象的な特徴を抽出しているのだ。この変換の繰り返しによって、モデルは言語の深層にあるパターンや意味を捉えることができる。LLMが学習するということは、これらの変換を行う行列の数値を、膨大なデータから最適に調整していくことに他ならない。

次に、確率と統計の知識もLLMの動作原理を理解する上で欠かせない。LLMは、与えられた文脈に基づいて次にどのような単語が出現するかを予測するモデルである。この予測は、確率的な推論に基づいている。具体的には、「これまでの単語の並び（文脈）があった場合に、次に特定の単語が出現する確率はどれくらいか？」という「条件付き確率」を計算しているのだ。例えば、「私は」という単語の後に「ご飯を」が来る確率は高く、「走るを」が来る確率は低い、といった具合だ。LLMは、学習した膨大なテキストデータから、単語の出現頻度や共起パターン（どの単語がどの単語と一緒に現れやすいか）といった統計的な情報を抽出し、それを基に確率分布を構築している。そして、その確率分布に基づいて、最も尤もらしい単語や文章を生成するのである。この確率的なアプローチこそが、LLMが自然で多様な文章を生み出せる理由の一つだ。

さらに、微積分もLLMの学習プロセスにおいて核心的な役割を担っている。LLMは、膨大な数のパラメータ（線形代数で説明した行列の数値など）を持つ非常に複雑なモデルだ。これらのパラメータは、モデルが与えられたタスク（例えば、次の単語予測）においてどれだけ正確な出力ができるかを決定する。モデルの予測が正解からどれだけずれているかを示す指標を「損失（または誤差）」と呼び、これは「損失関数」という数式で表現される。LLMの学習の目標は、この損失を最小化すること、つまりモデルの予測精度を最大限に高めることだ。ここで微積分が登場する。損失関数が最小となるようなパラメータの値を効率的に見つけるために、「勾配降下法」と呼ばれる最適化アルゴリズムが用いられる。微分は、関数の変化の度合い、特にどの方向にパラメータを調整すれば損失が最も大きく減少するかを示す「勾配（グラディエント）」を計算するために使われる。この勾配の情報を基に、LLMは数百万、あるいは数十億ものパラメータを少しずつ更新し、学習データを通じて徐々に精度を高めていくのである。まるで、山の頂上から最も急な下り坂をたどって谷底を目指すようなイメージだ。

最後に、情報理論もLLMの性能評価や学習目標を理解する上で役立つ。情報理論は、情報の量や不確実性を数学的に扱う分野である。LLMの学習では、「クロスエントロピー損失」という指標がよく用いられる。これは、モデルが予測した単語の確率分布と、実際の正解の単語の確率分布（正解の単語が100%の確率で出現するような分布）との間の「隔たり」や「違い」を測る尺度だ。クロスエントロピー損失を最小化するようにモデルを学習させることで、モデルはより正確な確率分布を予測できるようになる。つまり、正解の単語をより高い確率で予測できるようになり、結果としてより自然で正確な文章を生成できるようになる。

これらの数学的な知識は、単にLLMを「使う」だけでなく、その内部で何が起きているのかを深く理解するための強固な土台となる。システムエンジニアとして、AIの最先端技術に携わり、その性能を分析し、限界を乗り越え、さらには新たなモデルを開発していくためには、線形代数、確率統計、微積分、そして情報理論といった数学的な思考が不可欠なのである。これらの数学的基礎を学ぶことは、LLMという強力なツールを真に使いこなし、未来のAIを形作るための第一歩となるだろう。