【PHP8.x】expm1()関数の使い方

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1<?php
2
3/**
4 * PHPのexpm1関数の使用例を示します。
5 *
6 * expm1(x) は、数学的な e^x - 1 を計算します。
7 * 特に x の値が0に非常に近い場合に、exp(x) - 1 を直接計算するよりも高い精度で結果を提供します。
8 * これは、浮動小数点数の丸め誤差を避けるために重要です。
9 */
10function demonstrateExpm1Precision(): void
11{
12    // 0に非常に近い浮動小数点数を設定します。
13    // このような小さな値で exp(x) - 1 を計算すると、精度問題が発生しやすくなります。
14    $x = 1.0E-15; // 例: 0.000000000000001
15
16    echo "--- expm1() 関数のデモンストレーション ---" . PHP_EOL;
17    echo "対象の数値 x: " . sprintf('%.20f', $x) . PHP_EOL . PHP_EOL;
18
19    // expm1() を使用した計算
20    // x が 0 に近い場合でも、より正確な結果が得られます。
21    $resultExpm1 = expm1($x);
22    echo "expm1(x) の結果:     " . sprintf('%.20f', $resultExpm1) . PHP_EOL;
23
24    // exp() - 1 を使用した直接計算
25    // x が 0 に近いと exp(x) はほぼ 1 となり、1 - 1 の計算で有効桁数が失われる（キャンセルアウト）可能性があります。
26    $resultExpMinus1 = exp($x) - 1;
27    echo "exp(x) - 1 の結果:   " . sprintf('%.20f', $resultExpMinus1) . PHP_EOL;
28
29    // 両者の差を表示し、精度の違いを確認します。
30    $difference = abs($resultExpm1 - $resultExpMinus1);
31    echo "両者の絶対差:        " . sprintf('%.20f', $difference) . PHP_EOL . PHP_EOL;
32
33    echo "補足:" . PHP_EOL;
34    echo "x が 0 に近い場合、exp(x) は 1 に非常に近くなります。" . PHP_EOL;
35    echo "このとき、exp(x) - 1 を直接計算すると、浮動小数点数の精度限界により、" . PHP_EOL;
36    echo "ほとんど同じ値の引き算（例: 1.000000000000001 - 1.0）が行われ、" . PHP_EOL;
37    echo "有効な情報（特に小数点以下の細かい部分）が失われる『情報の露出不足』が生じます。" . PHP_EOL;
38    echo "expm1() 関数は、このような精度損失を避けて正確な結果を『露出させる』ために存在します。" . PHP_EOL;
39}
40
41// 関数を実行して結果を確認します。
42demonstrateExpm1Precision();

PHPのexpm1関数は、数学的なネイピア数eのx乗から1を引いた値（e^x - 1）を計算する関数です。引数には浮動小数点数$numを指定し、戻り値も浮動小数点数となります。

この関数は、特に引数$numが0に非常に近い場合に重要です。通常のexp($num) - 1という計算では、$numが0に近いとexp($num)の結果が1に非常に近くなります。このとき、ほぼ同じ値同士の引き算が行われるため、浮動小数点数の精度限界により、計算結果の有効桁数が失われ、小数点以下の正確な情報が「情報の露出不足」となり、精度が低下する可能性があります。

expm1関数は、このような精度上の問題を内部的に解決し、$numが0に非常に近い場合でも、より正確なe^x - 1の値を「露出させる」ことで提供します。システム開発において、微細な数値計算の精度が求められる場面で、信頼性の高い結果を得るために利用されます。

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1<?php
2
3/**
4 * expm1関数の使用例
5 *
6 * expm1(x) は exp(x) - 1 を計算する関数です。
7 * 特にxが0に近い場合、exp(x) - 1 を直接計算するよりも高い精度を提供します。
8 * exp(x) はネイピア数e (約2.71828) のx乗を意味します。
9 */
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11// 例1: 引数が0の場合
12// expm1(0) は exp(0) - 1 = 1 - 1 = 0 となります。
13$num1 = 0.0;
14$result1 = expm1($num1);
15echo "expm1($num1) の結果: $result1\n"; // 出力: expm1(0) の結果: 0
16
17// 例2: 引数が正の数の場合
18// expm1(1) は exp(1) - 1 ≈ 2.71828 - 1 ≈ 1.71828 となります。
19$num2 = 1.0;
20$result2 = expm1($num2);
21echo "expm1($num2) の結果: $result2\n"; // 出力例: expm1(1) の結果: 1.718281828459
22
23// 例3: 引数が0に近い小さな正の数の場合
24// このような場合、expm1はより高い精度を発揮します。
25$num3 = 0.00000001;
26$result3 = expm1($num3);
27echo "expm1($num3) の結果: $result3\n"; // 出力例: expm1(1.0E-8) の結果: 1.000000005E-8
28
29// 例4: 引数が負の数の場合
30// expm1(-1) は exp(-1) - 1 ≈ 0.36788 - 1 ≈ -0.63212 となります。
31$num4 = -1.0;
32$result4 = expm1($num4);
33echo "expm1($num4) の結果: $result4\n"; // 出力例: expm1(-1) の結果: -0.63212055882856
34
35?>

PHP 8に搭載されているexpm1関数は、数学におけるネイピア数e（約2.71828）の指定された数値乗から1を引いた値を計算します。具体的には、引数として渡された浮動小数点数$numに対してexp($num) - 1という計算を行います。この関数は、特に引数$numが0に近い非常に小さな数値の場合に、通常のexp($num) - 1と直接計算するよりも高い精度で結果を返せる点が特徴です。

引数$numには計算したい指数を浮動小数点数（float）で渡します。戻り値も計算結果である浮動小数点数（float）となります。例えば、expm1(0)は0を返し、expm1(1)は約1.71828を返します。$numが正の値であれば正の数を、負の値であれば負の数を返します。科学技術計算や統計分析など、浮動小数点数の精度が重要となる場面で活用される関数です。